Параграф 21

Лекция 12.

§21. Основные понятия операционного исчисления.: 1. Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Основная теорема F(p)О C (Re(p) >a).; 2. Свойства F(p) и изображения простейших функций.

Лекция 13.

3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом. Использование формулы для преобразования свертки функций действительной переменной.

4. Теорема Меллина.

5. Изображение произведения.

Основные понятия операционного исчисления.

Операционное исчисление - это аппарат интегральных преобразований, позволяющий заменить операции дифференцирования и интегрирования функции действительной переменной (известной или неизвестной, заданной или искомой) на алгебраические операции с параметрами интегральных преобразований.

Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Класс рассматриваемых функций действительной переменной. f(t), -

<t<

1) f(t)

0, t<0
2) f(t)- кусочно- непрерывна при t>0, т.е. для " конечного [a,b] f(t) имеет лишь конечное число разрывов I рода.
$ M>0, a'>0 : |f(t)|<Me^a't, t╝

(f(t)-функция ограниченной степени роста).
inf a'=a- показатель степени роста.

Класс А(а)- класс функций ограниченной степени роста.
Замечания
1. Для f(t)=tⁿА(0), a=0, т.к. tⁿ<Me^a't для " a'>0.
2. f(t)=exp(2t²)

А(а) для " a.
Определение. Односторонним преобразованием Лапласа функции f(t) класса А(а) называется функция комплексной переменной F(p), определяемая соотношением
F(p)=

e^-ptf(t)dt;
Если $ F(p), то f(t)

F(p); f(t)-оригинал, F(p)-изображение.
Для каких p $ F(p) ?
Теорема 21.1 Если f(t)

A(a), то F(p) $ при Re p>a и в области Re p

x₀>a интеграл сходится равномерно по р.
Доказательство. Возьмем для " x>a; Re p=x>a'>a. Очевидно, |f(t)|<Me^a't. Рассмотрим |

e^-ptf(t)dt|<M

e^-xte^a'tdt=M/(x-a') => при Re p=x>a' $ F(p). Существование доказано. Для доказательства равномерной сходимости интеграла по параметру р в области
Re p

x₀>a можно воспользоваться достаточным мажорантным признаком Вейерштрасса. Т.к. |f(t)|<Me^a't, x₀>a'>a, то |e^-ptf(t)|<Me^-(x0-a')t всюду в области Re p

x₀>a, причем мажоранта не зависит от р. n
Замечание. Вспомогательный параметр a' нам потребовался для доказательства, чтобы включить в рассмотрение функции класса А(0).
Каковы аналитические свойства F(p)?
Теорема 21.2. В области Rep>a (f(t)

A(a)) F(p)

(Re p>a).
Доказательство.

e^-ptf(t)dt=

u_n(p); u_n(p) - целые функции;

u_n(p).=>F(p),
Re p

x₀>a; по теореме Вейерштрасса => F(p)

(Re p>a). n
Замечание. Т.к.

u^(k)_n(p).=>F^(k)(p) Re p

x₀>a, то F^(k)(p)=(-1)^ke^-ptf(t)t^kdt !

Свойства изображений.

1. f(t)=s (t)={0, t<0; 1, t>0; s (t)- функция Хевисайда. s (t)

А(0) =>
=>F(p)

(Re p>0); F(p)=

e^-ptdt=1/p; s (t)

1/p, Re p>0.
2. f(t)=tⁿ ; n >-1; tⁿ

А(0); F(p)

(Re p>0); F(p)=

tⁿ e^-ptdt; F(x>0)=

tⁿ e^-xtdt=
= {xt=s}=(1/xⁿ ⁺¹)

sⁿ e^-sds=G (n +1)/xⁿ ⁺¹; F(p)- аналитическое продолжение F(x) в правую полуплоскость Re p>0; =>F(p)=G (n +1)/pⁿ ⁺¹; Если n -дробное, то берется та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением
xⁿ ⁺¹, x>0. Частный случай n =0; f(t)=s (t)

1/p, Re p>0. При n =n : tⁿn!/pⁿ⁺¹3. f(t)=e^a ^t; Re p> Re a ; F(p)=

e^a ^t e^-ptdt=1/(p-a ); Re p> Re a ; Линейность изображений.
Примеры 1) Полином.
2) sin w t=(1/2i)(e^{iw
t}-e^{-iw t})

(1/2i)[1/(p-iw )-1/(p+iw )]= w /(p²+w²);
5. Теорема запаздывания.
f(t)

A(a); f(t)

F(p); f_t (t)={0, t<t ; f(t-t ) t>t ;f_t (t)

A(a); f_t (t)

e^-ptf(t-t )dt=
={t-t =t'}=e^-pte^-pt'f(t')dt'=e^-ptF(p).
Пример. Изображение прямоугольного импульса.
f(t)={0, t<t₁ ; 1, t₂<t<t₁; 0, t>t₂;} F(p)=(1/p)( e^{-pt 1}- e^{-pt 2});
Пилообразный импульс- самостоятельно.
6. Изображение производной. Пусть f(t)

C[0;

] и имеет конечную производную f'(t), причем и f(t) и f'(t)

A(a). Пусть f(t)

F(p). Найдем f'(t)

?.
f'(t)

e^-ptf'(t)dt=(по частям)=-f(0)+p

e^-ptf(t)dt=(Rep>a)=pF(p)-f(0)=p[F(p)-f(0)/p];
Аналогично, если f(t)

C^(n-1)[0;

] и f⁽ⁿ⁾(t)- кусочно- непрерывна, и f^(k)(t)

A(a), k=0,1...n; то f⁽ⁿ⁾(t)

pⁿ[F(p)-f(0)/p-f'(0)/p²-...-f^(n-1)(0)/pⁿ];
7. Изображение интеграла.
f(t)

A(a); j (t)=

f(t )dt О A(a); j (t)

e^-ptf(t )dt dt=(Rep>a)=

e^-pt f(t ) dtdt= =(1/p)

e^-ptf(t )dt =(1/p)F(p);
Можно обобщить на случай n- кратного интеграла

(1/pⁿ)F(p)
8. Изображение свертки.
f₁(t)

A(a₁), f₂(t)

A(a₂), j (t)=

f₁(t )f₂(t-t )dt =

f₁(t-t )f₂(t )dt

A(a), a=max(a₁,a₂);
j (t)

e^-ptf₁(t )f₂(t-t )dt dt=(Rep>a)=

f₁(t )

e^-ptf₂(t-t )dt dt=(t-t =t') =
=

f₁(t )e^-pte^-pt'f₂(t')dt dt'=F₁(p)F₂(p).
Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

{a₀y⁽ⁿ⁾(t)+...+a_ny(t)=f(t), t>0; y(0)=...=y^(n-1)(0)=0; f(t)

F(p); y(t)

Y(p); =>

=> P_n(p)Y(p)=F(p) => Y(p)=F(p)/P_n(p). Надо найти оригинал по изображению. В нашем случае можно поступить проще.
Рассмотрим следующую задачу:
{a₀g⁽ⁿ⁾(t)+...+a_ng(t)=0, t>0; g(0)=...=g^(n-2)(0)=0; g^(n-1)(0)=1; g(t)G(p);
Допустим, мы знаем ее решение. g^(k)(t)p^kG(p), k=0,1,...n-1.; g⁽ⁿ⁾(t)pⁿ[G(p)-g^(n-1)(0)/pⁿ]=pⁿG(p)-1; => P_n(p)G(p)= a₀ => G(p)= a₀/P_n(p); Y(p)=F(p)/P_n(p)= (1/a₀) G(p) F(p); => y(t)(1/a₀)G(p)F(p)=>y(t)=(1/a₀)g(t-t )f(t )dt - Интеграл Дюгамеля.

Теорема Меллина.

Пусть F(p)C (Re p>a) и
1)    |F(p)|=>0 при |p| , Re p>a относительно аргумента.
2) " x>a: |F(p)|dy<M (равномерно ограничен по x).
Тогда $ f(t)A(a): f(t)F(p) и f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp, для " x>a.
Замечание. Несобственный интеграл (1/2p i)e^ptF(p)dp вычисляется вдоль прямой
Re p=x>a и понимается в смысле главного значения: e^ptF(p)dp=e^ptF(p)dp.
Доказательство.   Рассмотрим I(x,t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp (p=x+iy) и докажем:
1.    I(x,t) $ для " x>a;

|I(x,t)| (1/2p )e^xt|F(p)|dyM' e^xt=>I(x,t) $ для " x>a;
Замечание: на "[0,T] интеграл сходится равномерно по t.
2.    Доказательство. Т.к. F(p)C(Re p>a), то по теореме Коши e^ptF(p)dp=0; Устремим
А, тогда по условию 1. теоремы (|F(p)|=>0 при |p| , Re p>a) интегралы по горизонтальным отрезкам дадут в пределе 0.
Интегралы по вертикальным прямым перейдут в в несобственные интегралы => =>e^ptF(p)dp=e^ptF(p)dp, что в силу произвольности x₁ и x₂ доказывает утверждение.

3.   Докажем, что I(x,t)0, t<0.
Рассмотрим I(x,t) при t<0. По теореме Коши
e^ptF(p)dp=0. В силу замечания 2. к Лемме Жордана при R интеграл по дуге С'_R0 при t<0. Поэтому f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp 0, при t<0, Re p>a и " x>a.
Итак, $ f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp, для " x>a.
Из оценки интеграла => |f(t)|<Me^xt, и inf(x)=a =>f(t)A(a).
4.    Покажем, что f(t)F(p).
f(t)e^-pt(1/2p i)e^qtF(q)dqdt={a<Req=x<Rep}= (1/2p i)F(q)e^-(p-q)tdqdt= =(1/2p i)F(q)/(p-q)dq=(интеграл можно вычислить с помощью вычетов, учитывая, что контур обходится по часовой стрелке)=-Выч[F(q)/(p-q),q=p]=F(p)n
Замечание. Если $ аналитическое продолжение F(p) в левую полуплоскость, имеющее конечное число N изолированных особых точек p_n и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана , то f(t)=Выч[e^ptF(p),p_n], t0.
В частности, если F(p)=1/P_n(p), где все нули полинома P_n(p) лежат в левой полуплоскости Re p <a, то вычисление f(t) не представляет трудностей.
Пример. Решить задачу Коши: y"+w₀²y=f(t); y(0)=y'(0)=0;
Y(p)=F(p)/(p²+w ₀²); и трудности могут возникнуть при достаточно сложной F(p).
Но мы знаем, что y(t)=(1/a₀)g(t-t )f(t )dt . А т.к. G(p)= a₀/P_n(p), и a₀=1, и P_n(p)=p²+w₀², тоG(p)=1/(p²+w₀²). => g(t)=(1/2p i)e^pt/(p²+w₀²)dp=
=Выч[e^pt/(p²+w₀²), iw ₀]+ Выч[e^pt/(p²+w ₀²),-iw₀]= e^{iw 0t}/(2iw₀)-e^{-iw
0t}/(2iw₀)=sin(w₀t)/w₀=> y(t)=(1/w₀)sin(w₀(t-t ))f(t )dt и в частности при f(t)= sin(w ₀t): y(t)=
=(1/w₀)sinw₀(t-t )sin(w_0t)dt =(1/2w ₀²)[sin(w₀t)-tw₀cos(w₀t)]- осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.
Изображение произведения.

Пусть f₁(t)A(a₁): f₁(t)F₁(p)C(Re p>a₁); f₂(t)A(a₂): f₂(t)F₂(p)C(Re p>a₂).
f(t)=f₁(t)f₂(t)A(a₁+a₂); -удовлетворяет всем условиям существования изображения.

f(t)F(p)=e^-ptf₁(t)f₂(t)dt={f₁(t)=(1/2p i)e^ptF₁(p)dp, для " x>a₁}=
=(1/2p i)e^-ptf₂(t)e^qtF₁(q)dqdt=(1/2p i)F₁(q)e^-(p-q)tf₂(t)dtdq=
=(1/2p i)F₁(q)F₂(p-q)dq; (a₁<x=Re q<Re p- a₂)=(1/2p i)F₁(p-q)F₂(q)dq;
(a₂<x=Re q<Re p- a₁) ; F(p)C(Re p>a₁+a₂)
Пример. f₁(t)=t1/p²; f₂(t)=sinw tw /(p²+w ²);
f(t)=f₁(t)f₂(t)=tsinw t(w /2p i)dq/[(p-q)²(q²+w²)] ; 0<x=Re q<Re p={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке- в отрицательном направлении}= -w Выч[1/[(p-q)²(q²+w²)],q=p]
{q=p- полюс 2-го порядка =-w d/dq[1/(q²+w²),q=p] =2w p/(p²+w²);
Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в iw ;

Назад Вверх Вперед